Question

【題目】對于函數，若存在正常數，使得對任意的，都有成立，我們稱函數為“同比不減函數”．

（1）求證：對任意正常數，都不是“同比不減函數”；

（2）若函數是“同比不減函數”，求的取值范圍；

（3）是否存在正常數，使得函數為“同比不減函數”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2） （3）存在，

【解析】

（1）取特殊值使得不成立，即可證明；

（2）根據“同比不減函數”的定義，恒成立，分離參數，構造函數，轉化為與函數的最值關系，即可求出結果；

（3）去絕對值化簡函數解析式，根據“同比不減函數”的定義，取，因為成立，求出的范圍，然后證明對任意的，恒成立，即可求出結論.

證明：（1）任取正常數，存在，所以，

因為，

即不恒成立，

所以不是“同比不減函數”.

（2）因為函數是“同比不減函數”，

所以恒成立，即恒成立，

對一切成立.

所以.

（3）設函數是“同比不減函數”，

，

當時，因為成立，

所以，所以，

而另一方面，若，

（Ⅰ）當時，

因為，

所以，所以有成立.

（Ⅱ）當時，

因為，

所以，

即成立.

綜上，恒有有成立，

所以的取值范圍是.