【題目】已知
，
.
（1）討論
的單調區間；
（2）當
時，證明：
.
【答案】（1）
在
上單調遞減；在
和
上單調遞增.（2）見解析
【解析】
（1）先求函數的定義域，再進行求導得
，對
分成
，
，
三種情況討論，求得單調區間；
（2）要證由
，等價于證明
，再對
分
，
兩種情況討論；證明當時，不等式成立，可先利用放縮法將參數消去，轉化成證明不等式
成立，再利用構造函數
，利用導數證明其最小值大于0即可。
（1）的定義域為
，
，
當時，由
，得；
由
，得
，
所以在上單調遞減，在
上單調遞增；
當時，由，得或
；
由，得
；
所以在
上單調遞減，在
和上單調遞增；
當時，由
，得在上單調遞增；
當
時，由，得
或；由，得
；
所以在上單調遞減；在和上單調遞增.
（2）由，得，
①當時，
，
，不等式顯然成立；
②當時，
，由
，得
，
所以只需證：，
即證
，令，
則
，，
令
，
則
，
令
，
則
，
所以
在上為增函數，
因為
，
，
所以存在
，
，
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
又因為
，
，
當
時，
，
在
上單調遞減，
當
時，
，在
上單調遞增，
所以
，
所以
，
所以原命題得證
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
的中點為
.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）在棱
上是否存在點
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】黃岡“一票通”景區旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程，持有旅游年卡一年內可不限次暢游全市19家簽約景區．為了解市民每年旅游消費支出情況
單位：百元
，相關部門對已游覽某簽約景區的游客進行隨機問卷調查，并把得到的數據列成如表所示的頻數分布表：
組別 |
|
|
|
|
|
頻數 | 10 | 390 | 400 | 188 | 12 |
求所得樣本的中位數精確到百元；
根據樣本數據，可近似地認為市民的旅游費用支出服從正態分布
，若該市總人口為750萬人，試估計有多少市民每年旅游費用支出在7500元以上；
若年旅游消費支出在
百元以上的游客一年內會繼續來該景點游玩現從游客中隨機抽取3人，一年內繼續來該景點游玩記2分，不來該景點游玩記1分，將上述調查所得的頻率視為概率，且游客之間的選擇意愿相互獨立，記總得分為隨機變量X，求X的分布列與數學期望．
參考數據：，
；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
，
為其焦點，
為其準線，過任作一條直線交拋物線于
兩點，
、
分別為
、
在上的射影，
為
的中點，給出下列命題：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
與
的交點的
軸上；（5）
與
交于原點.
其中真命題的序號為_________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數
，若存在正常數
，使得對任意的
，都有
成立，我們稱函數
為“同比不減函數”．
（1）求證：對任意正常數，
都不是“同比不減函數”；
（2）若函數
是“
同比不減函數”，求
的取值范圍；
（3）是否存在正常數，使得函數
為“同比不減函數”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
為信號源點，
、
、
是三個居民區，已知、都在的正東方向上，
，
，在的北偏西45°方向上，
，現要經過點鋪設一條總光纜直線
（
在直線
的上方），并從、、分別鋪設三條最短分支光纜連接到總光纜，假設鋪設每條分支光纜的費用與其長度的平方成正比，比例系數為1元/
，設
，（
），鋪設三條分支光纜的總費用為
（元）.
（1）求關于
的函數表達式；
（2）求的最小值及此時
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是由兩個全等的菱形
和
組成的空間圖形，
，∠BAF＝∠ECD＝60°.
（1）求證：
；
（2）如果二面角B－EF－D的平面角為60°，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，過左焦點
的直線與橢圓交于
，
兩點，且線段
的中點為
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設
為上一個動點，過點與橢圓只有一個公共點的直線為
，過點與
垂直的直線為
，求證：與的交點在定直線上，并求出該定直線的方程.
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