Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，設點是橢圓上一點，從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交于點，直線的斜率分別記為．

（1）若圓與軸相切于橢圓的右焦點，求圓的方程；

（2）若．

①求證：；

②求的最大值

Answer 1

【答案】（1）（2）①詳見解析 ②

【解析】

試題（1）求圓的標準方程，就是確定圓心及半徑，根據圓與軸相切于橢圓的右焦點，得圓心的橫坐標為又點是橢圓上一點，所以圓心的坐標為，半徑為，（2）①由直線與圓相切得圓心到切線距離等于半徑，列出兩個等量關系，并化簡得：，，由于這兩個方程類似，因此可轉化為是方程的兩根，結合韋達定理得，將代入化簡得②先聯立直線與橢圓方程組解出P,Q點坐標（用斜率表示），,因此，結合基本不等式得

試題解析：（1）因為橢圓右焦點的坐標為，所以圓心的坐標為，

從而圓的方程為．

（2）①因為圓與直線相切，所以，

即，

同理，有，

所以是方程的兩根，

從而．

②設點，聯立，解得，

同理，，

所以

， 當且僅當時取等號． 所以的最大值為．