Question

若一個正三棱柱的各條棱均與一個半徑為

3

的球相切，則該正三棱柱的體積為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,球

分析：由題意求出正三棱柱的高、底面邊長，即可求出正三棱柱的體積．

解答： 解：由題意，△ABC的外接圓即為球的大圓，r=

3

，設底面△ABC外接圓圓心G，
即GA=GB=GC=

3

，從而正三角形ABC邊長3，
設球心O，由題意，E、F在球面上，OE=OD=

3

F為DE中點，則OF⊥DE，OF=GD=

1

2

GC=

3

2

，
在Rt△OEF中，OE=

3

，OF=

3

2

，∴EF=

3

2

，
∴DE=3，
∴V_正三棱柱=

1

2

×3×3×sin60°×3=

27

4

3

故答案為：

27

4

3

點評：本題考查正三棱柱的內切球與正三棱柱的關系，通過二者的關系求出正三棱柱的體積，考查計算能力，邏輯推理能力．