Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 數列{bn}，{cn}滿足 （n+1）bn=an+1﹣ ，（n+2）cn= ﹣ ，其中n∈N*．
（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{cn}的通項公式；
（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn ， 求證：數列{an}是等差數列．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數列{an}是公差為2的等差數列，∴an=a1+2（n﹣1）， =a1+n﹣1．

∴（n+2）cn= ﹣（a1+n﹣1）=n+2，解得cn=1

（2）證明：由（n+1）bn=an+1﹣ ，

可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn，（n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1，

相減可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn，

可得：（n+2）cn= ﹣ = ﹣[an+1﹣（n+1）bn]

= +（n+1）bn= +（n+1）bn= （bn+bn﹣1），

因此cn= （bn+bn﹣1）．∵bn≤λ≤cn，

∴λ≤cn= （bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．

∴（n+1）λ=an+1﹣ ，（n+2）λ= （an+1+an+2）﹣ ，

相減可得： （an+2﹣an+1）=λ，即an+2﹣an+1=2λ，（n≥2）．

又2λ= =a2﹣a1，則an+1﹣an=2λ（n≥1），∴數列{an}是等差數列

【解析】（1）數列{an}是公差為2的等差數列，可得an=a1+2（n﹣1）， =a1+n﹣1．代入（n+2）cn= ﹣ 即可得出cn ． （2）由（n+1）bn=an+1﹣ ，可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn ， （n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1 ， 相減可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn ， 代入化簡可得cn= （bn+bn﹣1）．bn≤λ≤cn ， λ≤cn= （bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．進而得出．
【考點精析】本題主要考查了等差關系的確定和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．