Question

{a_n}是首項為a1=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數列，設bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)，數列{c_n}滿足cn=

3

bn•bn+1

．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知an=(

1

4

)n，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，由此能求出數列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由cn=

3

bn•bn+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

，能求出數列{c_n}的前n項和為T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是首項為a1=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數列，
∴an=(

1

4

)n，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，
∴b_n=3n-2．
（Ⅱ）cn=

3

bn•bn+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

，
∴T_n=(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
=1-

1

3n+1

．

點評：本題考查數列的遞推式和數列的求和，解題時要注意裂項求和法的合理運用．