Question

已知{a_n}是首項為a₁，公比q為正數的等比數列，其前n項和為S_n，且有5S₂=4S₄，設b_n=q+qⁿ+S_n．
（1）求q的值；
（2）數列{b_n}能否是等比數列？若是，請求出所有可能的a₁的值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等比數列的前n項和公式s_n=

a1(1-qn)

1-q

，寫出S₂，S₄，代入等式5S₂=4S₄，可以求出q；
（2）先化簡數列b_n=q+qⁿ+S_n，根據前三項可以求出首項a₁，代入a₁，驗證數列{b_n}是否為等比數列即可．

解答：解：由題意知
（1）∵q≠1，
∴S₂=

a1(1-q2)

1-q

，S₄=

a1(1-q4)

1-q

，
∴5（1-q²）=4（1-q⁴）．
∵q＞0，
∴q=

1

2

．
（2）∵S_n=

a1(1-qn)

1-q

=2a₁-2a₁（

1

2

）ⁿ，
∴b_n=q+qⁿ+S_n=2a₁+

1

2

+（1-2a₁）（

1

2

）ⁿ．
若{b_n}是等比數列，則b₁=a₁+1，b₂=

3

2

a₁+

3

4

，b₃=

7

4

a₁+

5

8

，
由b₂²=b₁b₂，解得8a₁²-2a₁-1=0，所以a₁=-

1

4

，或a₁=

1

2

．
①當a₁=

1

2

時，b_n=

3

2

，
∴數列{b_n}是等比數列．
②當a₁=-

1

4

時，b_n=

3

2

 （

1

2

）ⁿ．
∵

bn+

bn

=

3 2 ( 1 2 )n+1

3 2 ( 1 2 )n

=

1

2

，
∴數列{b_n}是等比數列．

點評：本題主要考查利用定義證明數列為等比數列，及等比數列的前n項和公式的應用，屬于中檔題型．