Question

【題目】已知橢圓短軸端點和兩個焦點的連線構成正方形，且該正方形的內切圓方程為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，直線與拋物線交于兩點，且，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）先寫出一個短軸端點與一個焦點的直線方程可以是，即，利用圓心到直線距離等于半徑，列方程求解即可；

（2）拋物線的焦點在軸的正半軸上，故，故，拋物線的方程為，由，可得，設點，則， 代入求出關于的表達式，利用判別式大于0的范圍，求值域即可.

試題解析：

(1) 設橢圓的焦距為，則由條件可得，連接一個短軸端點與一個焦點的直線方程可以是，即，由直線與圓相切可得，故，則，故橢圓的方程為.

(2) 拋物線的焦點在軸的正半軸上，故，故，拋物線的方程為，由，可得，由直線與拋物線有兩個不同交點可得

在時恒成立，設點，則，則，又點到直線的距離為，故的面積為.令，則，令，可得或，故在上單調遞增，在上單調遞減，故時， 取最大值，則的面積取最大值為.