Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+n+1，
（1）寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列嗎？說明理由．
（3）寫出{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，分別計(jì)算即可寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷數(shù)列{a_n}是否是等差數(shù)列．
（3）根據(jù)遞推關(guān)系即可寫出{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+1+1=3，
a₂=S₂-S₁=4，a₃=S₃-S₂=6，
a₄=S₄-S₃=8，
a₅=S₅-S₄=10．
（2）數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列，
∵a₂-a₁=4-3=1，a₃-a₂=6-4=2，
∴a₂-a₁≠a₃-a₂，
故數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列．
（3）∵S_n=n²+n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n+1-[（n-1）²+（n-1）+1]=2n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+1+1=3不滿足a_n，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

3，n=1 2n， n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的判斷，根據(jù)當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．