Question

【題目】若函數滿足：對于任意正數，，都有，，且，則稱函數為“速增函數”.

（1）試判斷函數與是否是“速增函數”；

（2）若函數為“速增函數”，求的取值范圍；

（3）若函數為“速增函數”，且，求證：對任意，都有.

Answer 1

【答案】（1）是，不是；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據定義進行判斷即可，利用特殊值，舉出反例；

（2）根據定義可知，即對一切正數恒成立，可得，由，可得

得出，最后求出的范圍；

（3）根據定義，令，可知，即，故對于正整數與正數，都有，進而得出結論．

（1）對于函數，當，時，，

又，

所以，

故是“速增函數”.

對于函數，當時，，

故不是“速增函數”.

（2）當，時，由是“速增函數”，

可知，即對一切正數恒成立，

又，可得對一切正數恒成立，所以.

由，可得，

即

，

故，又，故，

由對一切正數，恒成立，可得，即．

綜上可知，的取值范圍是．

（3）由函數為“速增函數”，可知對于任意正數，，

都有，，且，

令，可知，即，

故對于正整數與正數，都有，

對任意，，可得，又，

所以，

同理，

故．