Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，

①求函數在點處的切線方程；

②比較與的大小;

（2）當時，若對時，，且有唯一零點，證明：．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）見解析

【解析】

（1）①把代入函數解析式，求出函數的導函數得到，再求出，利用直線方程的點斜式求函數在點處的切線方程；

②令，利用導數研究函數的單調性，可得當時，；當時，；當時，．

（2）由題意，，在上有唯一零點．利用導數可得當時，在上單調遞減，當，時，在，上單調遞增，得到．由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即．令，則，再由在上恒成立，得在上單調遞減，進一步得到在上單調遞增，由此可得．

解：（1）①當時，，，，

又，切線方程為，即；

②令，

則，

在上單調遞減．

又，

當時，，即；

當時，，即；

當時，，即．

證明：（2）由題意，，

而，

令，解得．

，，

在上有唯一零點．

當時，，在上單調遞減，

當，時，，在，上單調遞增．

．

在恒成立，且有唯一解，

，即，

消去，得，

即．

令，則，

在上恒成立，

在上單調遞減，

又， ，

．

在上單調遞增，

．