Question

【題目】為了豐富學生活動，在體育課上，體育教師設計了一個游戲，讓甲、乙、丙三人各抓住橡皮帶的一端，甲站在直角斜邊的中點處，乙站在處，丙站在處.游戲開始，甲不動，乙、丙分別以和的速度同時出發，勻速跑向終點和，運動過程中繃緊的橡皮帶圍成一個如圖所示的.（規定：只要有一人跑到終點，游戲就結束，且）.已知長為，長為，記經過后的面積為.

（1）求關于的函數表示，并求出的取值范圍；

（2）當游戲進行到時，體育教師宣布停止，求此時的最小值.

Answer 1

【答案】（1），其中時，，時，.（2）最小值為

【解析】

（1）求出路程，從而可得，由勾股定理得，以為軸建立平面直角坐標系，可得直線的方程，求出到直線的距離，即的高，從而可表示出其面積.計算兩人分別走到所用時間，比較它們的大小，可得的取值范圍.

（2）由（1）得，利用導數求出其最小值.

解：以為坐標原點，

分別以、為、軸建立直角坐標系，

，則，

，則，

為中點，則，

秒后，，，

，

直線方程為：，

，

到距離，

∴，

，即，則，

，即，則，

，

當時，，

當時，，

∴，

其中時，，

時，.

（2）∵，

∴，

，

令得，

當時，，為單調遞減，

當時，，為單調遞增，

∴當時取最小值，

此時，

答：此時最小值為.