Question

【題目】已知函數，

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數和的圖像有兩個交點，它們的橫坐標分別為，求證：

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）先對函數求導，得到，求出，，進而可得出結果；

（2）先令，對函數求導，得到，分別討論，，三種情況，用導數研究函數單調性，最值等，即可證明結論成立.

（1）因為，

所以，

所以，又，

所以切線方程為：，即.

（2）令，依題意有兩個零點.

又，

①當，則，只有一個零點，

②當，由得或.

若，則，故當時，，

因此在上單調遞增.

又當時，，所以不存在兩個零點.

若，則，故當時，；

當時，.

因此在單調遞減，在）單調遞增.

又當時，，所以不存在兩個零點.

③當，則當時，；當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

又，，取滿足且，

則，

故存在兩個零點；

不妨設，由③知，，，在上單調遞減，所以等價于，即.

由于，而，

所以.

設，則.

所以當時，，而，故當時，.

從而，故