Question

【題目】已知函數

（1）若直線與的圖象相切，求實數的值；

（2）設，討論曲線與曲線公共點的個數；

（3）設，比較與的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，詳情見解析（3），證明見解析

【解析】

（1）設切點為，由，切點過直線聯立求解即可；

（2）求曲線與曲線公共點的個數即求與的公共點個數，通過研究導數性質確定函數增減性，討論與函數最值點大小即可；

（3）可先通過試值，預判，原不等式可表示為，變形得，再令，再結合換元法和構造函數法即可求證

（1）設切點為，則，又切點過直線，所以，聯立求解可得，；

（2）原題可等價轉化為求與的公共點個數，

令，令可得，當時，，單增；當時，，單減；故，

又當時，，當時，由冪函數的增長性遠遠大于對數函數可知，，故的大致圖像為

當時，與有兩個共同點；

當時，與有一個公共點；

當時，與無公共點；

（3），證明如下，要證，即證，即，令，則原式變為，即，

令，則，故在上單增，所以當，又，所以恒成立，原式得證