Question

【題目】四棱錐中，平面，，，，，．

（1）求證: 平面平面;

（2）為棱上異于的點，且，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據相似三角形，證得，又由平面，得到 ，利用線面垂直的判定定理，證得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面．

（2）以為原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，設，，利用以，求得，得到，再求得平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（1）證明：在與中，因為， ，

所以，,即，所以.

因為,所以,所以．

因為平面，平面，所以 ，

又，所以平面，

又平面， 所以平面平面．

（2）過作，因為平面，所以平面，即兩兩相垂直，以為原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，

因為，，，

所以，，，，，

，，，

設，．則，

.

因為，所以，即，

解得，或．因為，所以．

所以，即．

設為平面的一個法向量，則，

所以取，

設直線與平面所成角為，

,

所以直線與平面所成角的正弦值．