Question

閱讀下面材料：根據兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ           …①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ          …②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ  …③
令α+β=A，α-β=B 有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③得sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

．
（1）利用上述結論，試求sin15°+sin75°的值．
（2）類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：cosA+cosB=2cos

A+B

2

•cos

A-B

2

．
（3）求函數y=cos2x•cos（2x+

π

6

）x∈[0，

π

4

]的最大值．

Answer 1

考點：類比推理,兩角和與差的正弦函數

專題：規律型,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

，令A=15°，B=75°，代和可得sin15°+sin75°的值．
（2）由cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ兩式相加得：cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，令α+β=A，α-β=B 有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

，可得結論；
（3）結合（2）的結論，將A=2x，B=2x+

π

6

，代入化簡函數的解析式，進而根據x∈[0，

π

4

]，求出相位角4x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，進而根據余弦函數的圖象和性質得到函數y=cos2x•cos（2x+

π

6

）x∈[0，

π

4

]的最大值．

解答： 解：（1）∵sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

∴sin15°+cos75°=2sin

15°+75°

2

•cos

15°-75°

2

=2sin45°•cos（-30°）=

6

2

…3
（2）因為cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，------①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ------②…5
①+②得cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，③
令α+β=A，α-β=B 有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

，…6
代入③得：cosA+cosB=2cos

A+B

2

•cos

A-B

2

．…7
（3）由（2）知，y=cos2xcos(2x+

π

6

)=

1

2

[cos(4x+

π

6

)+cos

π

6

]=

1

2

cos(4x+

π

6

)+

3

4

…8
∵x∈[0，

π

4

]，
∴4x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，…..9
故函數的最大值為f(0)=

3

2

．…10

點評：本小題主要考查兩角和與差三角函數公式、二倍角公式、三角函數的恒等變換等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想等．