Question

【題目】為評估設備M生產某種零件的性能，從設備M生產零件的流水線上隨機抽取100件零件最為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

直徑/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合計
件數	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

經計算，樣本的平均值μ=65，標準差=2.2，以頻率值作為概率的估計值．
（1）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據以下不等式進行評判（p表示相應事件的頻率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．評判規則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙，若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁．試判斷設備M的性能等級．
（2）將直徑小于等于μ﹣2σ或直徑大于μ+2σ的零件認為是次品
（i）從設備M的生產流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品個數Y的數學期望EY；
（ii）從樣本中隨意抽取2件零件，計算其中次品個數Z的數學期望EZ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，
因為設備M的數據僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙；…（4分）
（Ⅱ）易知樣本中次品共6件，可估計設備M生產零件的次品率為0.06．
（ⅰ）由題意可知Y～B（2，），于是EY=2×=；
（ⅱ）由題意可知Z的分布列為

Z	0	1	2
P

故EZ=0×+1×+2×=．
【解析】（Ⅰ）利用條件，可得設備M的數據僅滿足一個不等式，即可得出結論；
（Ⅱ）易知樣本中次品共6件，可估計設備M生產零件的次品率為0.06．
（ⅰ）由題意可知Y～B（2，），于是EY=2×=；
（ⅱ）確定Z的取值，求出相應的概率，即可求出其中次品個數Z的數學期望EZ．