Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的焦距為2 ，其上下頂點分別為C1 ， C2 ， 點A（1，0），B（3，2），AC1⊥AC2 ．
（1）求橢圓E的方程及離心率；
（2）點P的坐標為（m，n）（m≠3），過點A任意作直線l與橢圓E相交于點M，N兩點，設直線MB，BP，NB的斜率依次成等差數列，探究m，n之間是否滿足某種數量關系，若是，請給出m，n的關系式，并證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC1⊥AC2，C1（0，b），C2（0，﹣b），A（1，0），

∴ =1﹣b2=0，∴b2=1．

∵2c=2 ，解得c= ，∴a2=b2+c2=3．

∴橢圓E的方程為 =1．

離心率e= = =

（2）解：m，n之間滿足數量關系m=n+1．下面給出證明：

①當取M ，N 時，kMB= ，kBP= ，kNB= ，

∵直線MB，BP，NB的斜率依次成等差數列，∴2× = + ，化為：m=n+1．

②當直線MN的斜率不為0時，設直線MN的方程為：ty+1=x．M（x1，y1），N（x2，y2）．

聯立 ，化為：（t2+3）y2+2ty﹣2=0，

∴y1+y2= ，y1y2= ．

kMB= ，kBP= ，kNB= ，

∵直線MB，BP，NB的斜率依次成等差數列，

∴2× = + ，

由于 + = = =2，

∴ =1，化為：m=n+1

【解析】（1）由AC1⊥AC2 ， 可得 =1﹣b2=0，又2c=2 ，a2=b2+c2 ， 即可得出．（2）m，n之間滿足數量關系m=n+1．下面給出證明：①當取M ，N 時，根據斜率計算公式、及其直線MB，BP，NB的斜率依次成等差數列即可證明．②當直線MN的斜率不為0時，設直線MN的方程為：ty+1=x．M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．與橢圓方程聯立化為：（t2+3）y2+2ty﹣2=0，根據斜率計算公式、及其直線MB，BP，NB的斜率依次成等差數列、根與系數的關系化簡即可證明．