Question

（2011•成都一模）已知函數f（x）=x³+（4-a）x²-15x+a，a∈R．
（I）若點P（0，-2）在函數f（x）的圖象上，求a的值和函數f（x）的極小值；
（II）若函數f（x）在（-1，1）上是單調遞減函數，求a的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據點P（0，-2）在函數f（x）的圖象上，可得a=-2，從而f（x）=x³+6x²-15x-2，利用導數確定函數的單調區間，從而可得函數f（x）的極小值；
（II）先求導函數f′（x）=3x²+2（4-a）x-15要使函數f（x）在（-1，1）上是單調遞減函數，則f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，從而可得不等式，解之即可得到a的最大值．

解答：解：（I）∵點P（0，-2）在函數f（x）的圖象上
∴a=-2
∴f（x）=x³+6x²-15x-2
∴f′（x）=3x²+12x-15=3（x-1）（x+5）
令f′（x）=0，解得x=-5或x=1
令f′（x）＜0，解得-5＜x＜1，∴函數的單調減區間為（-5，1）
令f′（x）＞0，解得x＜-5或x＞1，∴函數的單調增區間為（-∞，-5），（1，+∞）
∴x=1時，函數f（x）取到極小值為f（x）=1+6-15-2=-10
（II）f′（x）=3x²+2（4-a）x-15
要使函數f（x）在（-1，1）上是單調遞減函數，則f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立
∴

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

∴

3-2(4-a)-15≤0 3+2(4-a)-15≤0

∴

2a-20≤0 -2a-4≤0

∴-2≤a≤10
∴a的最大值為10．

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的極值，同時考查學生分析解決問題的能力，解題時，將函數f（x）在（-1，1）上是單調遞減函數，轉化為f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立是關鍵．