Question

【題目】如圖，設橢圓 （a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 點D在橢圓上．DF1⊥F1F2 ， =2 ，△DF1F2的面積為 ．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）設圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：設F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，

由 =2 ，得|DF1|= = c，

從而 = |DF1||F1F2|= c2= ，故c=1．

從而|DF1|= ，由DF1⊥F1F2，得 = + = ，

因此|DF2|= ，

所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ，故a= ，b2=a2﹣c2=1，

因此，所求橢圓的標準方程為 +y2=1；

（2）解：設圓心在y軸上的圓C與橢圓 +y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是兩個交點，

y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2，由圓和橢圓的對稱性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，

由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以 =（x1+1，y1）， =（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣ + =0，

由橢圓方程得1﹣ = ，即3 +4x1=0，解得x1=﹣ 或x1=0．

當x1=0時，P1，P2重合，此時題設要求的圓不存在；

當x1=﹣ 時，過P1，P2，分別與F1P1，F2P2垂直的直線的交點即為圓心C．

由F1P1，F2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，

故圓C的半徑|CP1|= |P1P2|= |x1|=

【解析】（1）設F1（﹣c，0），F2（c，0），依題意，可求得c=1，易求得|DF1|= = ，|DF2|= ，從而可得2a=2 ，于是可求得橢圓的標準方程；（2）設圓心在y軸上的圓C與橢圓 +y2=1相交，P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）是兩個交點，依題意，利用圓和橢圓的對稱性，易知x2=﹣x1 ， y1=y2 ， |P1P2|=2|x1|，
由F1P1⊥F2P2 ， 得x1=﹣ 或x1=0，分類討論即可求得圓的半徑．