Question

【題目】橢圓的兩個焦點坐標分別為F1(－，0)和F2(，0)，且橢圓過點

(1)求橢圓方程；

(2)過點作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M，N兩點，A為橢圓的左頂點,證明．

Answer 1

【答案】(1)(2)見解析

【解析】

(1)設橢圓方程為，由題設代入點的坐標，求得，即可得到橢圓的方程；

（2）設直線的方程，聯立方程組，利用根與系數的關系，得到，再由向量的數量積的運算求得，即可得到答案.

解：(1)設橢圓方程為 ，

由，橢圓過點 可得，

解得 所以可得橢圓方程為.

(2)由題意可設直線MN的方程為：，

聯立直線MN和橢圓的方程：

化簡得(k2＋4)y2－ky－＝0.

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，

則y1y2＝，y1＋y2＝

又A(－2,0)，則＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋ k(y1＋y2)＋＝0，

所以.