Question

【題目】已知圓：,（為坐標原點），直線:.拋物線:．

(Ⅰ）過直線上任意一點作圓的兩條切線，切點為.求四邊形的面積最小值；

(Ⅱ）若圓過點，且圓心在拋物線上，是圓在軸上截得的弦，試探究 運動時，弦長是否為定值？并說明理由；

(Ⅲ) 過點的直線分別與圓交于點兩點，若,問直線是否過定點？并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）弦長為定值4 (Ⅲ) 直線過定點．

【解析】

（Ⅰ）四邊形的面積即求OA長的最值即可；

（Ⅱ）設圓的圓心為，圓的方程為　令得：， ，又，從而得到結果；

(Ⅲ) 不妨設直線的方程，則直線的方程為，聯立方程，可得，同理，，檢驗時，即可.

（Ⅰ）由已知得四邊形的面積

其中為圓心到直線的距離＝．

∴四邊形的面積最小值為

（Ⅱ）設圓的圓心為，∵圓過，

∴圓的方程為　

令得：，

設圓與軸的兩交點分別為，

方法1：不妨設，由可得，

∴

又∵點 在拋物線上，∴，

∴　 ，即 .

∴當 運動時，弦長為定值4 ．

　方法2：∵，

∴ ，

∵點 在拋物線上，∴，∴，

∴ ,∴當運動時，弦長為定值4．

(Ⅲ)由題知直線和直線的斜率都存在，且都不為，不妨設直線的方程，則直線的方程為，聯立方程，

得，得或．

∴，同理，

∵軸上存在一點，∴，同理．

∴，

所以，直線過定點．