Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）時，增區(qū)間為；時，增區(qū)間為；時，增區(qū)間為，；（2）.

【解析】

（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間；（2）由（1）知， 且，， 恒成立，可化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)，的最小值即可得結(jié)果.

（1）函數(shù)的定義域為，，

令，，

若時，，在恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

若，，方程，

兩根為，，

當(dāng)時，，，，單調(diào)遞增.

當(dāng)時，，，

，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞增.

綜上，時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，

時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，

時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，.

（2）由（1）知，存在兩個極值點(diǎn)時，且，，則，，且，.

此時恒成立，可化為

恒成立，

設(shè)，，

，

因為，所以，，所以，故在單調(diào)遞減，

，所以實數(shù)的取值范圍是.