Question

【題目】已知函數，其導函數為．

（1）討論函數的單調性；

（2）若，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

根據題意，對函數進行求導，得出，再通過對進行分類討論，得出導數的正負情況，對應得出區間上的單調性，即可求解出答案。

根據題意，列出不等式，利用分離參數的方法，得出對任意實數恒成立，將題目轉化為求當時的最小值問題。令，，對進行求導研究其單調性求出最小值，即可得出答案。

解：（1）依題意，，，

①若，則，函數在上單調遞增，

②若，令，得.

當時，，函數在上單調遞減，

當時，，函數在上單調遞增，

綜上所述，

當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）依題意，當時，恒成立，即

對任意實數恒成立.

令，，則

，

由（1）可知，當時，在上單調遞增，

故，即，得.

所以方程有唯一解，

且當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

所以，所以.