Question

（2011•濰坊二模）已知

m

=(cos?x，sin?x)，

n

=(cos?x，2

3

cos?x-sin?x)，?＞0，函數f(x)=

m

•

n

+|

m

|，x₁，x₂是集合M={x|f（x）=1}中任意兩個元素，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（1）求?的值．
（2）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊．f(A)=2，c=2，S△ABC=

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由向量的知識可對式子化簡，由題意易得周期，進而可得?的值；
（2）代入解析式可得C，由余弦定理和面積公式聯合可得關于ab的方程組，解之即可．

解答：解：（1）由題意可知：f(x)=

m

•

n

+|

m

|
=cos²?x+2

3

sin?xcos?x-sin²?x+1
=cos2?x+

3

sin2?x+1
=2sin（2?x+

π

6

）+1，
又x₁，x₂是集合M={x|f（x）=1}中任意兩個元素，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

，
所以函數f（x）的半周期為

π

2

，即

2π

2?

=

π

2

×2，解得?=1
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，進而可得2sin（2C+

π

6

）+1=2，
化簡得sin（2C+

π

6

）=

1

2

，解得C=

π

3

，
由余弦定理可得22=a2+b2-2abcos

π

3

=（a+b）²-3ab，
由S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab=

3

2

，可得ab=2，
綜合上面兩式可得a+b=

10

，ab=2，故ab為方程x2-

10

x+2=0的根，
解得a=

10 + 2

2

，或

10 - 2

2

點評：本題考查向量的數量積，以及解三角形的知識，屬中檔題．