Question

已知函數f（x）=cosxsinx（x∈R），給出下列四個命題：其中真命題是

 

．
①若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂；
②f（x）的最小正周期是2π；
③在區間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數；
④f（x）的圖象關于直線x=

3π

4

對稱．

Answer 1

分析：化簡函數f（x）=cosxsinx為：f（x）=

1

2

sin2x，利用奇函數判斷①的正誤；函數的周期判斷②的正誤；利用單調性判斷③，對稱性判斷④的正誤即可．

解答：解：函數f（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x，
因為它是奇函數，又是周期函數，所以①不正確；
函數的周期是π，所以②不正確；
③在區間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數；正確；
④f（x）的圖象關于直線x=

3π

4

對稱．當x=

3π

4

時f（x）取得最小值，是對稱軸，所以正確．
故答案為：③④

點評：本題是基礎題，考查三角函數式的化簡，基本函數的性質，掌握基本函數的性質是本題解答的根據，強化基本知識的學習，才能提高數學知識的應用．