Question

【題目】如下圖，三棱柱的各棱長都是2，，，，分別是，的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1) 取中點(diǎn)，連，，證明平面平面，然后可證明平面平面.
(2) 連接、，作于.連接,即為所求角,然后歸結(jié)到三角形中求解.

解：（1）取中點(diǎn)，連，，

∵是的中位線，

∴，

又∵平面，

∴平面.

∵在中，，分別是，的中點(diǎn).

∴.又∵平面，

∴平面.

又∵，

∴平面平面，

∵平面，

∴平面.

（2）∵，

∴即求直線與平面所成角的正弦值.

連接、，作于.連接.

由條件可知，是正三角形，

∴，

同理，又∵，

∴平面.

又∵平面.

∴平面平面.

∵平面，且.

∴平面.

∴即為所求角.

由條件知，

∴.

∴，∴.

∴.又∵，

∴.

∴所求值為.