【題目】在無窮數列
中，
是給定的正整數，
，
．
（Ⅰ）若
，寫出
的值；
（Ⅱ）證明：數列中存在值為
的項；
（Ⅲ）證明：若互質，則數列中必有無窮多項為
．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.
【解析】
（I）根據
以及
的值，由此求得
的值，找出規律，求得
的值.（II）利用反證法，先假設
，利用遞推關系找出規律，推出矛盾，由此證明原命題成立.（III）首先利用反證法證明數列
中必有“1”項，其次證明數列中必有無窮多項為“1”,由此證得原命題成立.
解：(I)由，以及
，可知，
，
，從
開始，規律為兩個
和一個
，周期為
，重復出現，故
.
(II)反證法：假設
,
由于
，
記
.則
.
則
，
,
，
，
，
依次遞推，有
，
…，
則
當
時，
與
矛盾.
故存在
，使
所以，數列必在有限項后出現值為的項．
(III)首先證明：數列中必有“1”項．用反證法，
假設數列中沒有“1”項，由(II)知，數列中必有“0”項，設第一個“0”項是
，令
，
，則必有
，
于是，由
，則
，因此
是
的因數，
由
，則
或
，因此是
的因數.
依次遞推，可得是的因數，因為
，所以這與互質矛盾．所以，數列中必有“1”項．
其次證明數列中必有無窮多項為“1”.
假設數列中的第一個“1”項是
，令
，
，
則
，
若
，則數列中的項從開始，依次為“1，1，0”的無限循環，
故有無窮多項為1；
若
，則
，
若
，則進入“1，1，0”的無限循環，有無窮多項為1；
若
，則從開始的項依次為
，
必出現連續兩個“1”項，從而進入“1，1，0”的無限循環，故必有無窮多項為1．
能考試期末沖刺卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】極坐標系與直角坐標系
有相同的長度單位，以原點
為極點，以
軸正半軸為極軸．已知曲線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
，射線
，
，
，
與曲線分別交異于極點的四點
，
，
，
．
（
）若曲線關于曲線對稱，求
的值，并把曲線和化成直角坐標方程．
（
）求
，當
時，求
的值域．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
的兩個頂點為
，
，平面內P，Q同時滿足
；
；
．
求頂點A的軌跡E的方程；
過點
作兩條互相垂直的直線
，
，直線，被點A的軌跡E截得的弦分別為
，
，設弦，的中點分別為M，
試問：直線MN是否恒過一個頂點？若過定點，請求出該頂點，若不過定點，請說明理由．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩地鐵站各隨機抽取了50名乘客，統計其乘車等待時間（指乘客從進站口到乘上車的時間，乘車等待時間不超過40分鐘）．將統計數據按
分組，制成頻率分布直方圖：
假設乘客乘車等待時間相互獨立．
(1)在上班高峰時段，從甲站的乘客中隨機抽取1人，記為
；從乙站的乘客中隨機抽取1人，記為
.用頻率估計概率，求“乘客,乘車等待時間都小于20分鐘”的概率；
(2)從上班高峰時段,從乙站乘車的乘客中隨機抽取3人，
表示乘車等待時間小于20分鐘的人數，用頻率估計概率，求隨機變量的分布列與數學期望.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，
平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
，
，且
，
，點E是線段PD的中點．
Ⅰ
求證：
平面PAB；
Ⅱ求證：平面
平面PCD；
Ⅲ當直線PC與平面PAD所成的角大小為
時，求線段PA的長．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】順次連接橢圓
的四個頂點恰好構成了一個邊長為
且面積為
的菱形。
（1）求橢圓
的方程；
（2）
，
是橢圓上的兩個不同點，若直線
，
的斜率之積為
（以
為坐標原點），線段上有一點
滿足
，連接并延長交橢圓于點
，求橢圓
的值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
