Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，右頂點為，且過點，圓是以線段為直徑的圓，經過點且傾斜角為的直線與圓相切.

（1）求橢圓及圓的方程；

（2）是否存在直線，使得直線與圓相切，與橢圓交于兩點，且滿足？若存在，請求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為，圓的方程為；（2）不存在

【解析】分析：（1）由題意得，再根據橢圓過點得到關于的方程組，求解后可得橢圓和圓的方程．（2）先假設存在直線滿足條件．（ⅰ）當直線斜率不存在時，可得直線方程為，求得點的坐標后驗證可得；（ⅱ）當直線斜率存在時，設出直線方程，與橢圓方程聯立消元后得到一元二次方程，結合根據系數的關系可得

不成立．從而可得不存在直線滿足題意．

詳解：(1)由題意知,,，圓的方程為

由題可知，解得 ，

所以橢圓的方程為，圓的方程為.

（2）假設存在直線滿足題意.

由，可得，故．

（ⅰ）當直線的斜率不存在時，此時的方程為．

當直線時，可得

所以．

同理可得，當時，.

故直線不存在．

（ⅱ）當直線的斜率存在時，設方程為，

因為直線與圓相切，

所以，整理得①

由消去y整理得，

設，

則，，

因為，

所以，

則，即，

所以，

所以，

整理得②

由①②得，此時方程無解.

故直線不存在．

由（i）（ii）可知不存在直線滿足題意.