Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：Sn=

1

2

(1-an)
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=nS_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）根據a_n與S_n的關系，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出b_n，利用錯位相減法，即可求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S1=

1

2

(1-a1)=a1，
∴a1=

1

3

，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-

1

2

an+

1

2

an-1，an=

1

3

an-1，
即{a_n}是以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列．
∴an=(

1

3

)n；      
（Ⅱ）Sn=

1

2

(1-an)=

1

2

-

1

2

(

1

3

)n，bn=nSn=

n

2

-

n

2

(

1

3

)n，
Tn=b1+b2+b3+…+bn=

1

2

(1+2+3+…+n)-

1

2

(

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

)=

n(n+1)

4

-

1

2

(

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

)，
令Mn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

   ①，

1

3

Mn=

1

32

+

2

33

+

3

34

+…+

n

3n+1

  ②
①-②得：

2

3

Mn=

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n

3n

=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-

n

3n+1

=

1

2

-

2n+3

2•3n+1

，
∴Mn=

3

4

-

2n+3

4•3n

，
∴Tn=

2n2+2n-3

8

+

2n+3

8•3n

．

點評：本題主要考查數列的通項公式，考查數列求和，要求熟練掌握錯位相減法進行求和，考查學生的運算能力．