Question

【題目】已知函數f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．設a＝2，b＝.

（1）求方程f(x)＝2的根；

（2）若對于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求實數m的最大值；

Answer 1

【答案】（1）x＝0.（2）4

【解析】

（1）將a,b代入，計算求解即得解；

（2）通過將變量m分離出來，將問題轉化為求分離出的函數的最小值則可.

（1）因為a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x.

方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，

亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，于是2x＝1，解得x＝0.

（2）由條件知：f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.

因為f(2x)≥mf(x)－6對于x∈R恒成立，且f(x)>0，

所以對于一切實數R恒成立.而

所以m≤4，故實數m的最大值為4.