Question

【題目】已知x，y，z均為正數．

（1）若xy＜1，證明：|x+z||y+z|＞4xyz；

（2）若＝，求2xy2yz2xz的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）最小值為8

【解析】

（1）利用基本不等式可得 , 再根據0＜xy＜1時, 即可證明|x+z||y+z|＞4xyz.

（2）由＝, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，從而求出2xy2yz2xz的最小值.

（1）證明：∵x，y，z均為正數，

∴|x+z||y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，

當且僅當x＝y＝z時取等號．

又∵0＜xy＜1，∴，

∴|x+z||y+z|＞4xyz；

（2）∵＝，即．

∵，

，

，

當且僅當x＝y＝z＝1時取等號，

∴，

∴xy+yz+xz≥3，∴2xy2yz2xz＝2xy+yz+xz≥8，

∴2xy2yz2xz的最小值為8．