Question

已知二次函數f（x） 對任意x∈R，都有f （1-x）=f （1+x）成立，設向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2）．
（1）分別求

a

•

b

和

c

•

d

的取值范圍；
（2）當x∈[0，π]時，求不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集．

Answer 1

分析：（1）根據向量的坐標運算公式即可求得

a

•

b

和

c

•

d

的取值范圍；
（2）由f （1-x）=f （1+x）可得f（x）圖象關于x=1對稱，結合f（x）為二次函數，

a

• 

b

≥1，

c

•

d

≥1，即

a

•

b

，

c

•

d

均在二次函數f（x）對稱軸右側，可對其開口方向分類討論，結合其對應的單調情況求不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)的解集．

解答：解：（1）

a

•

b

=2sin²x+1≥1    

c

•

d

=2cos²x+2≥1
（2）∵f（1-x）=f（1+x）∴f（x）圖象關于x=1對稱
當二次項系數m＞0時，f（x）在（1，+∞）內單調遞增，
由f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）⇒

a

•

b

＞

c

•

d

，即2sin²x+1＞2cos²x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈(

π

4

，

3π

4

)
當二次項系數m＜0時，f（x）在（1，+∞）內單調遞減，
由f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）⇒

a

•

b

＞

c

•

d

，即2sin²x+1＜2cos²x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈[0，

π

4

)∪(

3π

4

，π]、
故當m＞0時不等式的解集為（

π

4

，

3π

4

）；當m＜0時不等式的解集為 [0，

π

4

)∪(

3π

4

，π]

點評：本題考查復合三角函數的單調性，關鍵在于確定好

a

•

b

≥1與

c

•

d

≥1后，對二次函數f（x）的開口分類討論，從而利用其單調性解決問題，屬于中檔題．