Question

已知二次函數f（x）=x²-16x+q+3．
（1）若函數在區間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）若記區間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據解析式判斷f（x）在區間[-1，1]上遞減，由函數零點的幾何意義知f（-1）≥，f（1）≤0，再代入方程后求不等式得解集，即是p的范圍；
（2）先假設存在常數t（t≥0）滿足題意，根據對稱軸和區間[t，10]的關系進行分類，再根據每種情況中的二次函數圖象求出函數的值域，利用區間長度求出t的值，注意驗證是否在確定的范圍內．

解答：（1）解：∵函數f（x）=x²-16x+q+3在區間[-1，1]上單調遞減，
∴函數在區間[-1，1]上存在零點可得，

f(-1)≥0 f(1)≤0

即

20+q≥0 -12+q≤0

∴-20≤q≤12
（2）證明：假設存在常數t（t≥0）滿足題意，分三種情況求解：
①當

0≤t≤8 8-t≥10-8

，即0≤t≤6時，
當x=8時，取到最小值f（8）；當x=t時，取到最大值f（t），
∴f（x）的值域為：[f（8），f（t）]，
∴區間長度為t²-16t+P+3-（p-61）=t²-16t+64=12-t．
∴t²-15t+52=0，
∴t=

15- 17

2

，t=

15+ 17

2

（舍）
②當

0≤t≤8 8-t＜10-8

即6≤t＜8時，D=[f（8），f（10）]=[p-61，p-57]
∴區間長度為p-57-（p-61）=4=12-t，
∴t=8．經檢驗t=8不合題意，舍去．
③當t≥8時，函數f（x）在[q，10]上單調遞增，
∴f（x）的值域為：[f（t），f（10）]，即[t²-16t+p+3，p-57]．
∴區間長度為p-57-（t²-16t+p+3）=-t²-16t-60=12-t，
∴t²-17t+72=0，
∴t=8或t=9．經檢驗t=8或t=9滿足題意．
綜上知，存在常數t=8或t=9，或t=

15- 17

2

時，f（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t

點評：本題考查了函數零點的幾何意義和在給定區間上求二次函數的值域，特別是區間含有參數時，要討論對稱軸和區間的位置關系并由此進行分類，是綜合性強和計算量大的題．