Question

已知定義在R上的函數f（x）=|x-1|+|x+2|的最小值為a．
（1）求a的值；
（2）若m，n是正實數，且m+n=a，求

1

m

+

2

n

的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,帶絕對值的函數

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由|x-1|+|x+2|的幾何意義表示了數軸上點x到點1與到點-2的距離之和可知a=3；
（2）

1

m

+

2

n

=

m+n

3m

+

2m+2n

3n

=1+

n

3m

+

2m

3n

≥1+2

2 3 • 1 3

=1+

2

3

2

．利用基本不等式．

解答： 解：（1）由|x-1|+|x+2|的幾何意義表示了數軸上點x到點1與到點-2的距離之和，
如圖：
則x在[-2，1]上時，函數f（x）=|x-1|+|x+2|取得最小值a=3．
即a=3．
（2）由題意，m+n=3，
則

1

m

+

2

n

=

m+n

3m

+

2m+2n

3n

=

1

3

+

n

3m

+

2m

3n

+

2

3

=1+

n

3m

+

2m

3n

≥1+2

2 3 • 1 3

=1+

2

3

2

．
（當且僅當

n

3m

=

2m

3n

時，等號成立）．
即

1

m

+

2

n

的最小值為1+

2

3

2

．

點評：本題考查了絕對值函數的最值與基本不等式的應用，屬于基礎題．