Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F₁傾斜角為45°的直線l與該橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|=

4

3

a．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，-1）滿足|MP|=|MQ|，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l的方程為y=x+c，與橢圓方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得P、Q橫坐標(biāo)之和與橫坐標(biāo)之積關(guān)于a、b、c的式子．再用弦長公式結(jié)合PQ的長度為

4a

3

，列出關(guān)于a、b、c的方程，化簡整理可得a=

2

b，由此不難求出該橢圓的離心率．
（2）根據(jù)|MP|=|MQ|，得M點在PQ的中垂線上，由此結(jié)合（1）中的條件，列出關(guān)于c的方程并解之得c=3，再根據(jù)離心率算出a、b之值，即可得到該橢圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）由直線PQ斜率為1，可設(shè)直線l的方程為y=x+c，其中c=

a2-b2

．…（2分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則兩點坐標(biāo)滿足方程組

y=x+c x2 a2  + y2 b2 =1

消去y，整理得（a²+b²）x²+2a²cx+a²（c²-b²）=0，
可得：

x1+x2= -2a2c a2+b2 x1x2= a2(c2-b2) a2+b2

∵|PQ|=

4

3

a，∴

2

|x1-x2|=

4

3

a
由此可得|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=(

2 2

3

a)2
即（

-2a2c

a 2+b2

）²-4（

a2(c2-b2)

a 2+b2

）²=

8a2

9

．…（6分）
整理，得a²=2b²，a=

2

b
∴橢圓的離心率e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

2

2

．…（8分）
（Ⅱ）設(shè)PQ 中點為N（x₀，y₀），由（1）知
x₀=

x1+x2

2

=

-a2c

a 2+b2

=-

2c

3

，y₀=x₀+c=

1

3

c．
由|MP|=|MQ|，得MN與直線y=x+c垂直，所以MN的斜率k=-1．…（10分）
∴

y0+1

x0

=-1，即

1 3 c+1

- 2c 3

=-1，解得c=3，從而a=3

2

，b=3．
因此，橢圓的方程為

x2

18

+

y2

9

=1…（12分）

點評：本題給出直線與橢圓相交，在已知弦長的情況下求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的基本概念、簡單幾何性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．