Question

【題目】設關于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集為A，且 ∈A，﹣ A．
（1）對任意的x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，且a∈N，求a的值．
（2）若a+b=1，a，b∈R+ ， 求 + 的最小值，并指出取得最小值時a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：關于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集為A，且 ∈A，﹣ A，

則a＞| ﹣2|且a≤|﹣ ﹣2|，即有 ＜a≤ ，①

x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（x﹣1）﹣（x﹣3）|=2，即有

|x﹣1|+|x﹣3|的最小值為2，

x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，即有

a2+a≤2，解得﹣2≤a≤1，②

由①②可得 ＜a≤1，

由a∈N，則a=1

（2）解：若a+b=1，a＞0，b＞0，

則 + = + = +（ + ）

≥ +2 = ，

當且僅當 = ，即a= ∈（ ， ]，b= 時，

取得最小值，且為

【解析】（1）由 ∈A，﹣ A可得 ＜a≤ ，再由絕對值不等式的性質可得|x﹣1|+|x﹣3|的最小值為2，結合恒成立思想，可得a2+a≤2，解出不等式，求交集，再由a∈N，即可得到a；（2）由條件可得 + = + ，運用基本不等式求出最小值，同時求出取等號的a的值．
【考點精析】通過靈活運用基本不等式在最值問題中的應用和絕對值不等式的解法，掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”；含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號即可以解答此題．