Question

設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
(1)求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
(2)求逆矩陣M^－1以及橢圓＝1在M^－1的作用下的新曲線的方程．

Answer 1

（1）（2）x²＋y²＝1.

由題意M＝，
(1)由|M－λE|＝0得，λ₁＝2，λ₂＝3，當λ₁＝2，
∴y＝0，取x＝1；當λ₂＝3，
∴x＝0，取y＝1.
所以，特征值為2和3，特征值2對應的特征向量，特征值3對應的特征向量.
(2)由逆矩陣公式得：M^－1＝，
設P(x₀，y₀)是橢圓＝1上任意一點P在M^－1下對應P′(x，y)，則＝，
∴所以，橢圓＝1在M^－1的作用下的新曲線的方程為
x²＋y²＝1.