Question

【題目】某水產養殖戶在魚成熟時，隨機從網箱中捕撈100尾魚，其質量分別在[4，4.5），[4.5.5），[5.5.5），[5.5，6），[6，6.5），[6.5，7]（單位：斤）中，經統計得頻率分布直方圖如圖所示

（1）現按分層抽樣的方法，從質量為[4.5，5），[5，5.5）的魚中隨機抽取5尾，再從這5尾中隨機抽取2尾，記隨機變量X表示質量在[4.5，5）內的魚的尾數，求X的分布列及數學期望．

（2）以各組數據的中間數代表這組數據的平均值，將頻率視為概率，該養殖戶還未捕撈的魚大約還有1000尾，現有兩個方案：

方案一：所有剩余的魚現在賣出，質量低于5.5斤的魚售價為每斤10元，質量高于5.5斤的魚售價為每斤12元

方案二：一周后所有剩余的魚逢節日賣出，假設每尾魚的質量不變，魚的數目不變，質量低于5.5斤的魚售價為每斤15元，這類魚養殖一周的費用是平均每尾22元；質量高于5.5斤的魚售價為每斤16元，這類魚養殖一周的費用是平均每尾24元通過計算確定水產養殖戶選擇哪種方案獲利更多？

Answer 1

【答案】（1）見解析，．（2）水產養殖戶選擇方案一獲利更多．

【解析】

（1）計算兩種魚的尾數，根據超級和分布計算概率，得出X的分布列和數學期望；

（2）分別計算各種重量的魚的尾數，計算兩種方案對應的售價得出結論．

（1）質量在[4.5，5）和[5，5.5）的魚尾數比為0.2：0.3，即2：3．

故按分層抽樣的方法，從質量為[4.5，5），[5，5.5）的魚中隨機抽取5尾，

質量在[4.5，5）的魚有2尾，質量在[5，5.5）的魚有3尾，

故X的可能取值為0，1，2，

P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），

X的分布列為：

X	0	1	2
P

EX＝012．

（2）故按若按方案一，

賣魚所得收入為：

4.25×10×1000×0.2×0.5+4.75×10×1000×0.2×0.5+5.25×10×1000×0.3×0.5+5.75×12×1000×0.8×0.5+6.25×12×1000×0.4×0.5+6.75×12×1000×0.1×0.5

＝4250+4750+7875+27600+15000+4050

＝63525（元），

若按方案二，賣魚所得收入為：

4.25×15×1000×0.2×0.5+4.75×15×1000×0.2×0.5+5.25×15×1000×0.3×0.5+5.75×16×1000×0.8×0.5+6.25×16×1000×0.4×0.5+6.75×16×1000×0.1×0.5﹣24×1000

＝6370+7125+11812.5+36800+20000+5400﹣24000

＝63507（元）．

∵63525＞63507，

∴水產養殖戶選擇方案一獲利更多．