Question

經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1 t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1 t虧損300元．根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品．以X(單位： t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤．

(1)將T表示為X的函數；
(2)根據直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率；
(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率(例如：若x∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率，求T的數學期望．

Answer 1

（1）（2）0.7（3）59400

(1)當X∈[100,130)時，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
當X∈[130,150]時，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120≤X≤150.
由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.
(3)依題意可得T的分布列為

T	45 000	53 000	61 000	65 000
P	0.1	0.2	0.3	0.4

所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝
59400.