Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，M是PA上的點，為正三角形，，．

（1）求證：平面平面PAC；

（2）若，平面BPC，求證：點M為線段PA的中點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）取BD的中點O，連結OA，OC，可證，又由，可得平面PAC，即可得證；

（2）取AB的中點N，連結MN和DN，首先可得，，所以，即可得到平面BPC．又由平面BPC，可得平面平面BPC．根據面面平行的性質可得，即可得證；

（1）取BD的中點O，連結OA，OC，

∵為正三角形，∴．

∵，∴．

在平面內，過O點垂直于BD的直線有且只有一條，

∴A，O，C三點共線，即．

∵，AC，平面PAC，，

∴平面PAC．∵平面MBD，

∴平面平面PAC．

（2）取AB的中點N，連結MN和DN，

因為，且，所以

所以，即．

∵為正三角形，∴．

又DN，BC，AB共面，∴．

∵平面BPC，平面BPC，

∴平面BPC．

∵平面BPC，DN，平面DMN，

∴平面平面BPC．

∵平面DMN，∴平面BPC．

∵平面PAB，平面平面BPC=PB，

∴．

∵N是AB的中點，∴M為線段PA的中點．