精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

證明：已知a與b均為有理數，且 $數學公式$ 和 $數學公式$ 都是無理數，證明 $數學公式$ + $數學公式$ 也是無理數．

證明：假設 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是有理數，則（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=a-b
由a＞0，b＞0則 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞0即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≠0
∴ $\text{[math]}$ ∵a，b?Q且 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ∈Q
∴ $\text{[math]}$ ∈Q即（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）∈Q
這樣（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ∈Q
從而 $\text{[math]}$ ?Q（矛盾）∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是無理數
分析：本題利反證法證明：假設 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是有理數，則（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=a-b這樣推出（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ∈Q，從而 $\text{[math]}$ ?Q（矛盾）最后得出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是無理數．
點評：此題考查了反證法的定義，反證法在數學中經常運用，當論題從正面不容易或不能得到證明時，就需要運用反證法，此即所謂“正難則反“．

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