Question

證明：已知a與b均為有理數，且

a

和

b

都是無理數，證明

a

+

b

也是無理數．

Answer 1

分析：本題利反證法證明：假設

a

+

b

是有理數，則（

a

+

b

）（

a

-

b

）=a-b這樣推出（

a

+

b

）+（

a

-

b

）=2

a

∈Q，從而

a

?Q（矛盾）最后得出

a

+

b

是無理數．

解答：證明：假設

a

+

b

是有理數，則（

a

+

b

）（

a

-

b

）=a-b
由a＞0，b＞0則

a

+

b

＞0即

a

+

b

≠0
∴

a

-

b

=

a-b

a + b

∵a，b?Q且

a

+

b

∈Q
∴

a-b

a + b

∈Q即（

a

-

b

）∈Q
這樣（

a

+

b

）+（

a

-

b

）=2

a

∈Q
從而

a

?Q（矛盾）∴

a

+

b

是無理數

點評：此題考查了反證法的定義，反證法在數學中經常運用，當論題從正面不容易或不能得到證明時，就需要運用反證法，此即所謂“正難則反“．