Question

【題目】設等差數列{an}的前n項和為Sn ， 且S4=4S2 ， a2+a4=10．
（1）求數列{an}通項公式；
（2）若數列{bn}滿足 + +…+ =1﹣ ，n∈N* ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等差數列{an}的公差為d，

∵a2+a4=10，

∴a3= =5，

∵S4=4S2，

∴4a3﹣2d=4（2a3﹣3d），

即20﹣2d=4（10﹣3d），解得：d=2，

∴an=a3+2（n﹣3）=2n﹣1；

（2）解：依題意， + +…+ =1﹣ ，n∈N*，

當n≥2時， + +…+ =1﹣ ，

兩式相減得： =（1﹣ ）﹣（1﹣ ）= ，

由（1）可知bn= （n≥2），

又∵b1=（1﹣ ）a1= 滿足上式，

∴bn= ，n∈N*，

故Tn= + +…+ ，

Tn= + +…+ + ，

兩式相減得： Tn= +（ + +…+ ）﹣

= ﹣ ﹣ ，

∴Tn=3﹣ ．

【解析】（1）通過設等差數列{an}的公差為d，利用等差中項及a2+a4=10可知a3=5，通過S4=4S2可知4a3﹣2d=4（2a3﹣3d），計算可得d=2，進而計算即得結論；（2）通過 + +…+ =1﹣ 與 + +…+ =1﹣ 作差，結合（1）整理可知bn= （n≥2），驗證當n=1時也成立，進而利用錯位相減法計算即得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．