Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若?，（i）求證：直線過定點(diǎn)；
（ii）試問點(diǎn)，能否關(guān)于軸對稱？若能，求出此時(shí)的外接圓方程；若不能，請說明理由.

Answer 1

(1)2      (2)

（Ⅰ）由題意:設(shè)直線,
由消y得:,設(shè)A、B,AB的中點(diǎn)E,則由韋達(dá)定理得: =,即,,所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為E,因?yàn)镺、E、D三點(diǎn)在同一直線上，所以，即，解得
，所以=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,即的最小值為2.
（Ⅱ）（i）證明:由題意知:n>0,因?yàn)橹本�OD的方程為,所以由得交點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823183141419757.png" style="vertical-align:middle;" />,,且?，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得,y=0,與實(shí)數(shù)k無關(guān),所以直線過定點(diǎn)(-1,0).
（ii）假設(shè)點(diǎn)，關(guān)于軸對稱,則有的外接圓的圓心在x軸上,又在線段AB的中垂線上,
由（i）知點(diǎn)G(,所以點(diǎn)B(,又因?yàn)橹本�過定點(diǎn)(-1,0),所以直線的斜率為，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823183141107516.png" style="vertical-align:middle;" />，所以解得或6，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823183142261573.png" style="vertical-align:middle;" />,所以舍去,即，此時(shí)k=1，m=1，E，AB的中垂線為2x+2y+1=0，圓心坐標(biāo)為，G(,圓半徑為，圓的方程為.綜上所述, 點(diǎn)，關(guān)于軸對稱,此時(shí)的外接圓的方程為.