Question

（本小題滿分16分）
已知F是橢圓：＝1的右焦點，點P是橢圓上的動點，點Q是圓：＋＝上的動點．
（1）試判斷以PF為直徑的圓與圓的位置關系；
（2）在x軸上能否找到一定點M，使得＝e (e為橢圓的離心率)？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：（1）取PF的中點記為N，橢圓的左焦點記為，連結ON，則ON為的中位線，所以ON＝．又由橢圓的定義可知，＋PF＝2a，從而＝2a－PF，故ON＝＝＝a－．所以以PF為直徑的圓與圓內切．
（2）設橢圓的半焦距為c，M (x，0)，Q (，)，F (c，0)，由＝e，得＝，即＋＝．把＋＝代入并化簡整理，得＋＋－－＝0，要此方程對任意的Q (，)均成立，只要＝0即可，此時x＝＝．所以x軸上存在點M，使得＝e，M的坐標為(，0)．

略