Question

已知f(x)=

x

3x+1

，且滿足：a1=1，an+1=f(an)．
（1）求證：

{ 1 an }是等差數列

（2）{bn}的前n項和Sn=2n-1，若Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…

bn

an

，求Tn．

Answer 1

分析：（1）根據a_n+1=f（a_n），整理得

1

an+1

-

1

an

=3，進而可推斷數列{

1 an

}成等差數列；
（2）根據等差數列的通項公式求得數列{a_n}的通項公式，然后利用b_n=

S1，         n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，從而求出

bn

an

，根據通項的特點可利用錯位相消法進行求和即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

x

3x+1

，a1=1，an+1=f(an)，
∴a_n+1=f（a_n）=

an

3an+1

，
則

1

an+1

-

1

an

=3，
∴{

1 an

}是首項為1，公差為3的等差數列；
（2）由（1）得，

1 an

=3n-2，
∵{b_n}的前n項和為Sn=2n-1，
∴當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
而b₁=S₁=1，也滿足上式，則b_n=2^n-1，
∴

bn

an

=

2n-1

1 3n-2

=（3n-2）2^n-1，
∴Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…

bn

an

=2⁰+4•2¹+7•2²+…+（3n-2）2^n-1，①
則2T_n=2¹+4•2²+7•2³+…+（3n-2）2ⁿ，②
①-②得：-T_n=1+3•2¹+3•2²+3•2³+…+3•2^n-1-（3n-2）2ⁿ，
∴T_n=（3n-5）2ⁿ+5．

點評：本題主要考查了數列的遞推式，以及通項為等差數列與等比數列相乘的數列用錯位相消法進行求和，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．