Question

已知數列a_n和b_n滿足：a₁=λ，an+1=

2

3

an+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實數，n為正整數．
（1）試判斷數列a_n是否可能為等比數列，并證明你的結論；
（2）求數列b_n的通項公式；
（3）設a＞0，S_n為數列b_n的前n項和，如果對于任意正整數n，總存在實數λ，使得不等式a＜S_n＜a+1成立，求正數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）題目要求試判斷數列a_n是否可能為等比數列，并證明你的結論，故本題要先做出判斷，然后再證明，證明方法是先假設其成立，引入參數，由等比的性質建立方程，看參數能不能求出，若能求出，則說明是，否則說明不是．
（2）研究數列相鄰兩項，看相鄰項的關系，以確定數列b_n的性質，然后求出其通項公式；
（3）求出數列的前n項和，然后根據形式求出其最值，則參數的范圍易知．

解答：解：（1）對任意實數λ，數列a_n不可能為等比數列．
證明：假設存在一個實數λ，使{a_n}是等比數列，則有a²₂=a₁a₃，，即(

2

3

λ-3)2=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比數列．
（2）因為b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

2

3

a_n-2n+14）=-

2

3

（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-

2

3

b_n
又b₁=-（λ+18），所以，當λ=-18，b_n=0（n∈N⁺）；
當λ≠-18時，b₁=（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴

ba+1

bn

=-

2

3

（n∈N⁺）．
∴數列{b_n}是以-（λ+18）為首項，-

2

3

為公比的等比數列．b_n=-（λ+18）•（-

2

3

）^n-1．
（3）由（2）知，當λ=-18，b_n=0，S_n=0，不滿足題目要求．
∴λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-

2

3

）^n-1，
于是可得S_n=-

n

i=1

i4=

1

5

n4+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，
要使a＜S_n＜a+1對任意正整數n成立，即a＜-

3

5

（λ+18）•[1-（-

2

3

）ⁿ]＜a+1（n∈N⁺）得

a

1-(- 2 3 )n

＜-

3

5

(λ+18)＜

a+1

1-(- 2 3 )n

①
令f(n)=1-(-

2

3

)n，則
當n為正奇數時，1＜f（n）≤

5

3

；當n為正偶數時，

5

9

≤f(n)＜1，
∴f（n）的最大值為f（1）=

5

3

，f（n）的最小值為f（2）=

5

9

，
于是，由①式得

9

5

a＜-

3

5

（λ+18）＜

3

5

(a+1)，即得-（a+1）-18＜λ＜-3a-18．
∴-（a+1）-18＜-3a-18，
∴0＜a＜

1

2

．

點評：本題屬于數列綜合運用題，考查了由所給的遞推關系證明數列的性質，對所給的遞推關系進行研究求數列的遞推公式以及利用數列的求和公式求其和，再由和的存在范圍確定使得不等式成立的參數的取值范圍，難度較大，綜合性很強，對答題者探究的意識與探究規律的能力要求較高，是一道能力型題．