Question

（2006•崇文區(qū)一模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側(cè)面PAD垂直底面ABCD，且△PAD為正三角形，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．
（I）求證：AE⊥平面PCD；
（II）求平面PAB與平面PDC所成二面角的大小；
（III）求直線PB與平面PDC所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)側(cè)面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥側(cè)面PAD，可知：AE⊥CD，又AE⊥PD，所以AE⊥平面PCD
（II）設(shè)平面PCD 與平面PAB的交線為l，根據(jù)四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側(cè)面PAD垂直底面ABCD，可知CD⊥平面PAD，所以∠APD為平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角，故可求；
（III）先求B到平面PCD的距離，PB的長，設(shè)直線PB與平面PDC所成角為α，利用正弦函數(shù)可求．

解答：證明：（I）因?yàn)椋簜?cè)面PAD⊥底面ABCD，所以：CD⊥側(cè)面PAD，可知：AE⊥CD
而在正三角形PAD中，AE是PD邊上的中線，也是它上的高，即：AE⊥PD，
∵CD∩PD=D
所以：AE⊥平面PCD
解：（II）∵CD∥AB
∴CD∥平面PAB
設(shè)平面PCD 與平面PAB的交線為l
∴CD∥l
∵四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側(cè)面PAD垂直底面ABCD
∴CD⊥平面PAD
∴∠APD為平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角
∵△PAD為正三角形
∴∠APD=60°
∴平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角為60°．
（III）∵△PAD為正三角形，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)
∴AE⊥平面PCD
設(shè)AD=a，則AE=

3

2

a，PB=

2

a
∵AB∥平面PCD
∴B到平面PCD的距離

3

2

a
設(shè)直線PB與平面PDC所成角為α
∴sinα=

6

4

∴α=arcsin

6

4

點(diǎn)評：本題以四棱錐為載體，考查線面垂直，考查面面角，考查線面角，綜合性強(qiáng)．