Question

設(shè)數(shù)列{a_2n-1}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{a_2n}是公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），已知S₃=a₄，a₃+a₅=a₄+2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若當n∈N^*時，不等式2S_2n-na_2n-1＜λa_2n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的通項公式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把已知條件化為a₁和a₂的等式，聯(lián)立后求解a₁和a₂，然后分別有等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用分組求和求出S_2n，結(jié)合2S_2n-na_2n-1＜λa_2n恒成立分離參數(shù)λ，然后構(gòu)造輔助函數(shù)bn=

n-2

2×3n-1

，由單調(diào)性得到b_n的最大值，則實數(shù)λ的取值范圍可求．

解答： 解：（Ⅰ）由S₃=a₄，得a₁+a₂+a₁+2=3a₂，即a₁+1=a₂  ①
由a₃+a₅=a₄+2，得a₁+2+a₁+4=3a₂+2，即2a₁+4=3a₂  ②
解①②得，a₁=1，a₂=2．
∴an=

n    n為奇數(shù) 2×3 n 2 -1    n為偶數(shù)

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
S2n=1+3+…+(2n-1)+2+2×3+…+2×3n-1
=

n(1+2n-1)

2

+2×

1-3n

1-3

=n2+3n-1．
∵2S_2n-na_2n-1＜λa_2n恒成立，
∴2（n²+3ⁿ-1）-n（2n-1）＜λ（2×3^n-1），
即2×3ⁿ+n-2＜λ（2×3^n-1）恒成立．
∴λ＞3+

n-2

2×3n-1

恒成立．
令bn=

n-2

2×3n-1

，則bn+1=

n-1

2×3n

，
∴bn+1-bn=

n-1

2×3n

-

n-2

2×3n-1

=

5-2n

2×3n

．
∴當n≥3時，b_n+1-b_n＜0，此時{b_n}單調(diào)遞減；
當n≤2時，b_n+1-b_n＞0，此時{b_n}單調(diào)遞增．
∴b₃最大，b3=

1

18

．
∴λ＞

55

18

．

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，是數(shù)列與不等式的綜合題，訓(xùn)練了分離變量法，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．